Posts tagged ‘Bertrand Russell’

1 januari 2016

Wittgenstein literair – Over het onheldere van de Tractatus logico-philosophicus

door Jan Dirk Snel

[Vrijdag 1 januari 2016] Als er één werk onontkoombaar aan de Eerste Wereldoorlog doet denken, dan is dat wel de Tractatus logico-philosophicusLudwig Wittgenstein (1889-1951) voltooide het werk in augustus 1918 tijdens een verlof in Wenen – en vooral op de Hochreith, het jachthuis van de familie – kort voor hij het einde van de oorlog in Italiaanse krijsgevangenschap zou beleven. Tijdens de oorlogsjaren, waarin hij als Oostenrijks soldaat in het keizerlijke en koninklijke leger dienst deed aan het oostfront, soms op de gevaarlijkste posities, werkte hij er voortdurend aan. Maar het woord ‘oorlog’ komt er niet in voor. Er gebeurt sowieso vrij weinig in dat boek. Het geeft blijk van een nogal statische kijk op de wereld. In 1921 verscheen de Logisch-philosophische Abhandlung, zoals de oorspronkelijke titel luidt, voor het eerst, in een gebrekkige editie in de door Nobelprijslaureaat Wilhelm Ostwald uitgegeven Annalen der Naturphilosophie. Een jaar later verscheen een betere editie, vergezeld van een Engelse vertaling, bij Kegan Paul Trench Trubner & Co in Londen.

WittgensteinLuitenant01

Ludwig Wittgenstein als Oostenrijks luitenant in het keizerlijke en koninklijke leger. Foto op zijn militaire identiteitskaart.

De wereld
Het is trouwens het gemakkelijkste boek om samen te vatten. Dit is in het kort de inhoud:

Die Welt ist alles, was der Fall ist. Was der Fall ist, die Tatsache, ist das Bestehen von Sachverhalten. Das logische Bild der Tatsachen ist der Gedanke. Der Gedanke ist der sinnvolle Satz. Der Satz ist eine Wahrheitsfunktion der Elementarsätze. (Der Elementarsatz ist eine Wahrheitsfunktion seiner selbst.) Die allgemeine Form der Wahrheitsfunktion ist: [pξN(ξ)]. Dies ist die allgemeine Form des Satzes. Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.

Het zijn de zeven hoofdstellingen van het boek. Alleen heb ik nu de nummers eens weggelaten. Het is een tekst die men zo maar langs de kant van de weg kan aantreffen (om geen copyright te schenden neem ik die foto hier niet over, maar klik even). Men ziet hoe de opeenvolgende zinnen steeds door één term met elkaar verbonden zijn: Fall – Tatsache(n) – Gedanke – Satz – Wahrheitsfunktion – en tenslotte nog: allgemeine Form. Wittgenstein smokkelt een beetje door bij de vijfde stelling een toelichting of een toevoeging tussen haakjes op te nemen en bij de zesde stelling ineens twee zinnen op elkaar te laten volgen (Daarom aarzel ik ook een beetje of die algemene vorm wel in het verbindende kernrijtje thuishoort.) Hoe het ook zij: de zevende propositie – Satz is Wittgensteins eigen term – staat in ieder geval nogal opvallend op zichzelf – in dit rijtje althans.

Duidelijk toch? Of, nou nee, eigenlijk niet. Zelfs het simpele woordje ‘ist’ is hier niet altijd helder. Betekent het elke keer wel hetzelfde? Wordt het iedere keer op dezelfde wijze gebruikt? Drukt het een identiteit uit en in welke zin dan? (Juist van dat punt, wat identiteit is, of misschien wel niet kan zijn, maakt Wittgenstein nogal een punt (pun intended), verklap ik maar.) Hoe verhouden die Sachverhalte zich nu precies tot het feit, de Tatsache? Dat je kunt lezen ‘Was der Fall ist, ist das Bestehen von Sachverhalten’, lijkt duidelijk. Maar kun je ook lezen ‘Die Tatsache ist das Bestehen von Sachverhalten’? Die Tatsache? Eén feit maar? Of moeten we hier toch aan feiten, Tatsachen, in het algemeen denken? Maar is het nu een feit dat er Sachverhalte bestaan? Of moeten we lezen dat feiten uit Sachverhalte bestaan?

Stand van zaken
Dat laatste kennelijk, maar direct duidelijk is het allemaal niet. En dan heb ik de vraag wat een Sachverhalt nu eigenlijk is, gemakshalve nog maar even laten rusten. De Nederlandse vertaler, de voormalige lector fysische geografie te Groningen W.F. Hermans, maakte er, althans in de tweede, herziene druk zijner overzetting uit 1976, een connectie van. (Wat hij in de nogmaals herziene, maar sindsdien niet meer gewijzigde derde druk uit 1977 deed, weet ik niet.) Dat lijkt, althans in eerste instantie, nog niet eens zo heel erg vreemd. Op de introductie van het begrip volgt in Satz 2.01 immers direct deze uitleg: ‘Der Sachverhalt ist eine Verbindung von Gegenständen. (Sachen, Dingen.)’ Ja, een connectie is een verbinding – en omgekeerd. En toch knaagt er iets, want meestal denk je bij dit woord, Sachverhalt, niet primair aan de betrekking tussen twee (of meer) dingen. Ja, ik besef dat Sachverhalt wellicht net een tikkie dynamischer of interactioneler klinkt dan Sachlage, maar de gewone betekenis lijkt toch eerder toedracht of stand van zaken te zijn. Natuurlijk, tussen de zaken die samen een (statische) stand of een bepaalde toedracht vormen, bestaan relaties, maar die zijn eerder een onderdeel van het gehele beeld dat opgeroepen wordt, zou je zeggen.

Dat laatste is dan ook wat de tweede Engelse vertaling, die van David Pears en Brian McGuinness uit 1961, ervan maakt. Een Sachverhalt is een state of affairs. Of de hele zin: ‘What is the case – a fact – is the existence of states of affairs.’ (Merk trouwens op hoe die Tatsache, bepaald, in het Engels a fact, onbepaald, wordt, maar dat kan natuurlijk als die Tatsache, zoals de auteur hier kennelijk bedoelt, algemeen en niet specifiek is – waarmee ik meteen een hiervoor opgeroepen vraag beantwoord.) Maar de eerste Engelse vertaling, die van C.K. Ogden (met de niet onbelangrijke of zelfs overheersende hulp van Frank P. Ramsey) uit 1922, waar Wittgenstein zelf, zij het op grote fysieke afstand, bij betrokken was, geeft Sachverhalt weer als een atomic fact. ‘What is the case, the fact, is the existence of atomic facts.’ (Opnieuw terloops: hier is dat feit dus wel bepaald gebleven.) Dat is een vertaling waar je op grond van het woordenboek niet snel op zou komen. Die is dus óf gebaseerd op een interpretatie van de verdere tekst door de vertalers, óf de auteur heeft hen iets ingefluisterd – en dat laatste was uiteraard het geval, om de uitdrukking uit de eerste Satz nu maar eens op bescheidener schaal te gebruiken. Het is in ieder geval in lijn met wat Bertrand Russell in de inleiding uitlegt:

‘What is complex in the world is a fact. Facts which are not compounded of other facts are what Mr. Wittgenstein calls Sachverhalte, whereas a fact which may consist of two or more facts is a Tatsache: thus, for example “Socrates is wise” is a Sachverhalt, as well as a Tatsache, whereas “Socrates is wise and Plato is his pupil” is a Tatsache but not a Sachverhalt.’

Een Sachverhalt zou dus een simpel feitje zijn, ‘a fact which has no parts’, zoals Russell het later nog eens formuleert. (Je zou trouwens zeggen dat een Verbinding, want dat is een Sachverhalt volgens Wittengestein, altijd uit minstens twee delen bestaat, maar de gedachte moet zijn dat dát gegeven zelf niet meer opgesplitst kan worden en dus één elementair feit vormt.) Kortom, elke Sachverhalt, elke stand van zaken, zou een Tatsache, een feit zijn, maar niet elk feit, elke Tatsache, zou een stand van zaken, een Sachverhalt zijn. Tja. Als Russell het zegt…

Maar toch schuurt er iets. Al was het maar omdat dit taalgebruik gekunsteld aandoet. Bij een stand van zaken, een state of affairs, denk je zeker niet alleen aan hele kleine, onsamengestelde feitjes. Dat is ook wat Hermans in de verantwoording van zijn mij in tweede instantie overigens niet overtuigende vertaalkeuze voor connectie terecht opmerkt: dat ‘in het dagelijks taalgebruik met “stand van zaken” juist zeer ingewikkelde feiten plegen te worden aangeduid.’ Wie vraagt wat de stand van zaken is, verwacht meestal een heel verhaal. En dat geldt ook voor de politiecommissaris in Tatort die wil weten hoe de zaken ervoor staan, kortom wat de Sachverhalt is. Kortom, bij een Sachverhalt denk je eerder aan de werkelijkheid als zodanig, bij een feit, een Tatsache, aan de verbinding van die werkelijkheid met de talige beschrijving ervan, aan de juiste omschrijving van de stand van zaken dus. (Je kunt – net aan – zinvol spreken over de ware toedracht of zelfs de ware stand van zaken, niet over de ware feiten, behalve dan op de paradoxale wijze waarop ik dat nu doe, omdat die feiten per definitie reeds waar zijn.) Wittgenstein verafschuwde die inleiding door Russell overigens, maar in dit geval lijken we er toch wel op af te kunnen gaan. Kennelijk gebruikte hij die term Sachverhalt op een nogal eigenzinnige – of vriendelijker gezegd: technische – wijze, omdat hij geen beter woord voor een elementair feit tot zijn beschikking had (wat volgens mij in de lijn van de latere Wittgenstein al een reden, of op zijn minst een aanleiding, zou kunnen zijn om te twijfelen aan het nut dezer constructie).

Onhelder
En zo zouden we nog wel even door kunnen gaan. Wat moeten we eigenlijk onder een logisches Bild verstaan? Je zou denken dat logica juist op het formele betrekking heeft en geen beeld kan vormen, zelfs niet in beeldspraak, waarin dat beeld dus niet meer dan een metafoor is. Wat is een waarheidsfunctie? En wat betekent [pξN(ξ)]? Dat is zonder nadere toelichting allemaal niet direct duidelijk. Kortom, mijn gemakzuchtige samenvatting is misschien toch niet helemaal geslaagd. Of ligt dat ook aan de auteur? Russell beweert bijvoorbeeld dat Wittgenstein in de tekst niet goed uitlegt waar [pξN(ξ)] voor staat, zodat Russell die lacune in de inleiding in alle goedheid nog maar even opvult. Toen Wittgenstein in 1929 op dit werk promoveerde, bleef de tekst ongewijzigd. In normale omstandigheden zou de promotor dan tegen de promovendus gezegd hebben: joh, verbeter dat nog even. Maar in dit geval weet ik nog niet zo zeker of Russell wel gelijk heeft. Het lijkt me dat Wittgenstein in het voorafgaande vijfde deel – als we de met een 5 genummerde proposities zo mogen noemen – de betekenis wel degelijk uitlegt, of althans het verstaan ervan voorbereidt. Alleen kun je dat in deze samenvattting natuurlijk niet direct zien.

En tot die gans simpele observatie wil ik me nu beperken. Namelijk dat Wittgensteins tekst, zelfs al op de allereerste blik, niet direct erg helder is. En dat wordt er niet veel beter op als je stug doorleest. Niet alleen wordt de betekenis van bepaalde termen niet erg duidelijk, de samenhang tussen de opeenvolgende zinnen is ook niet altijd helder. Het is simpelweg geen betoog. Je zou bijna zeggen dat het de tekst aan logica ontbeert, als je niet wist dat die juist over logica gaat. En als je niet gezien had dat de auteur bij de eerste propositie in een voetnoot als toelichting geeft:

Die Decimalzahlen als Nummern der einzelnen Sätze deuten das logische Gewicht der Sätze an, den Nachdruck, der auf ihnen in meiner Darstellung liegt.’

Wat is een logisch gewicht nu weer? Je zou eigenlijk denken dat een zekere logica, hoe ook opgevat – en dit gebruik moet wel erg ver af staan van de in de wijsgerige logica gebruikelijke – juist impliciet in de tekst hoort te zitten. En er dus niet zo kunstmatig van buitenaf met dat trucje van die decimalen aan toegevoegd hoort te worden. Natuurlijk, de retorica – dat is de logica waar het hier om moet gaan – kent vanouds voorschriften over de opbouw van een tekst. Een zekere indeling mag ook aan de lezer of hoorder gepresenteerd worden. Maar een auteur die een tekst van nog geen negentienduizend woorden zo in een ingewikkeld schema met 545 stellingen opdeelt, lijkt in ieder geval niet erg handig.

WittgensteinHochreith-2

Nog jaren na de Eerste Wereldoorlog bleef Wittgenstein zijn uniform dragen. Hier zien we hem in de zomer van 1920 op het familiebuiten de Hochreith tussen zijn zuster Helene Salzer en zjn vriend Arvid Sjögren.

Klar sagen
Dat zou misschien nog niet zo erg zijn, als de auteur juist van helderheid geen bijzondere deugd maakte. Tot de bekendste uitspraken uit de Tractatus behoort wel deze (4.116):

‘Alles was überhaupt gedacht werden kann, kann klar gedacht werden. Alles, was sich aussprechen läßt, läßt sich klar aussprechen.’

En al direct in het voorwoord zegt hij:

‘Man könnte den ganzen Sinn des Buches etwa in die Worte fassen: Was sich überhaupt sagen läßt, läßt sich klar sagen; und wovon man nicht reden kann, darüber muss man schweigen.’

We kunnen moeilijk stellen dat Wittgenstein erin geslaagd is om datgene waarover hij meende wel iets te kunnen zeggen, duidelijk uit te drukken. En in de allereerste zin van datzelfde voorwoord blijkt hij dat ook al te beseffen:

‘Dieses Buch wird vielleicht nur der verstehen, der die Gedanken, die darin ausgedrückt sind – oder doch ähnliche Gedanken – schon selbst einmal gedacht hat. – Es ist also kein Lehrbuch. – Sein Zweck wäre erreicht, wenn es Einem, der es mit Verständnis liest Vergnügen bereitete.’

Het blijft paradoxaal. Terwijl Kant in de geërgerde openingszin van zijn Prolegomena ook zegt dat zijn boek niet voor leerlingen is bedoeld, dus geen studieboek is, heeft hij op zich minst de illusie dat hij leraren nog iets aan het verstand kan peuteren. Maar Wittgenstein geeft het eigenlijk al bij voorbaat op. Enige logische of retorische overtuigingskracht kent hij zijn verhandeling in feite niet toe. Al kun je natuurlijk ook lezen dat hij het overgrote deel zijner lezers voor te dom houdt. Wie hier zelf niet opkomt, zal het nooit begrijpen. Dat is in feite mystiek.

Literair
En dat is het ook. Alleen een mysticus kan zo lang aan zo’n duistere tekst met zo weinig kans op overreding schaven. Zelf weet hij dat hij alle problemen in essentie definitief opgelost heeft, hij beseft ook maar al te goed dat de wereld dat niet zal begrijpen. Auch das ist der Fall.

Wat is nu het eigenaardige? Dat de eerste Engelse vertaler, Charles Kay Ogden, die duisterheid in feite ook met zoveel woorden aankondigt in de aantekening die hij aan zijn vertaling vooraf laat gaan:

‘In rendering Mr Wittgenstein’s Tractatus Logico-Philosophicus available for English readers, the somewhat unusual course has been adopted of printing the original side by side with the translation. Such a method of presentation seemed desirable both on account of the obvious difficulties raised by the vocabulary and in view of the peculiar literary character of the whole. As a result, a certain latitude has been possible in passages to which objection might otherwise be taken as over-literal.’

De woordenschat roept niet alleen overduidelijk moeilijkheden op, het gehele werk heeft ook een eigenaardig literair karakter, een peculiar literary character. Nota bene! De filosoof kondigt aan dat ‘de waarheid van de hier meegedeelde gedachten onaantastbaar en definitief’ is. En dat hij alle problemen in essentie voorgoed opgelost heeft. En de vertaler zegt doodleuk: dit is een literair werkje.

Maar misschien doet zich daar helemaal geen tegenstelling voor.

(197)

30 mei 2013

De paradox als slechte beschrijving

door Jan Dirk Snel

Een paradox is een tegenspraak die we wel te pruimen achten. Een contradictie is een tegenspraak die we niet acceptabel vinden. Grieks versus Latijn. Een paradox is een schijnbare tegenspraak, schijnen velen op school te leren. Beter kun je waarschijnlijk zeggen dat het om een opzettelijke tegenspraak gaat. Wie gebruik maakt van de paradox als stijlfiguur, benut een werkelijke tegenspraak om iets duidelijker te maken, dat zich rechttoe rechtaan misschien niet zo goed laat zeggen.

Barbier
Met de paradox als stijlfiguur zijn we vertrouwd. Maar kan de paradox ook een logische figuur zijn? In wijsgerige encyclopedieën als bijvoorbeeld de Stanford Encyclopedia of Philosophy kom je nogal wat stukken over paradoxen tegen. Wikipedia, de laatste jaren enorm in aanzien gestegen, heeft trouwens ook aardig wat te bieden. Maar is een logische paradox in feite niet iets heel vreemds? Bestaat die eigenlijk wel? Of is wat we een logische paradox noemen, in feite gewoon een contradictie? En is het beginsel van de non-contradictie niet zo ongeveer de basis van de logica?

Exif_JPEG_PICTURE

De vieringtoren van de Sint-Jan in Den Bosch steekt boven de huizen uit. Een logisch verband met dit stukje is er niet. Fysieke paradoxaliteit is overigens uitgesloten.

Men kent het verhaaltje. Het gaat over een eilandje waar een niet al te grote bevolking woont. Er is één barbier, die alle mannen scheert die niet zichzelf scheren, en alleen hen. Wie scheert nu de barbier? Als hij zichzelf scheert, scheert hij dus niet alleen mannen die zichzelf niet scheren. Als hij zichzelf niet scheert, scheert hij dus niet alle mannen die zichzelf niet scheren. Pogingen tot ontsnapping, dat hij elke dag met een bootje van elders komt aangevaren, dat hij een baard laat staan of dat de barbier wel eens een vrouw zou kunnen zijn, helpen allemaal niet. Het hoeft trouwens helemaal niet om een eilandje of voor mijn part een geïsoleerd dorpje te gaan. Voor elke barbier die midden in een grote metropool roept dat hij iedereen die zichzelf niet scheert, en alleen hen scheert, geldt hetzelfde verhaal.

Maar het is natuurlijk wel duidelijk wat hier mis is. De beschrijving klopt gewoon niet. Die bevat een tegenspraak en komt er in feite op neer dat de barbier zich tegelijk wel en niet scheert. En contradicties mogen niet. Het gaat om beschrijvingsfout en de werkelijke situatie zou je in heel gewone bewoordingen kunnen omschrijven, zij het wat minder kort en krachtig geformuleerd. Bijvoorbeeld dat de barbier alle mannen die zichzelf niet scheren, én zichzelf scheert. Of dat hij alle mannen die zichzelf niet scheren, scheert en zelf een baard laat staan. Of wat dan ook. De situatie kan veel complexer zijn met mannen die soms zichzelf scheren en soms naar de barbier gaan. Het doet er allemaal niet toe. Hier gelden de regels van de gewone, fysieke wereld en die valt altijd te beschrijven, zij het dat er de ene keer meer woorden en zinnen nodig zijn dan in een ander geval.

Zeno en de leugenaar
Scholieren kennen vaak de paradoxen van Zeno. Die over Achilles en de schildpad bijvoorbeeld. Ook al loopt Achilles veel sneller dan de schildpad, als hij die bij de start maar een klein stukje voorsprong geeft, zal hij die nooit inhalen, omdat elke keer als hij aankomt waar de schildpad was, die toch een heel klein stukje verder is gekomen. Of die over de pijl en de dichtomie, die trouwens in elkaar geschoven worden. Of je het nu over een renner of een pijl hebt, je kunt de resterende afstand steeds in tweeën opdelen. De renner of de pijl legt steeds de volgende helft van afstand tot het doel af, maar komt nooit definitief aan. De opmerkingen over de pijl, overgeleverd via Aristoteles en Diogenes Laërtius, geven als zodanig al aan waar het probleem zit: Zeno vertikt het verschijnsel van de beweging te honoreren. Hij stelt zich de pijl (of de renner) voor als telkens in rust zijnde. Hij doet alsof beweging uit een reeks momenten is samengesteld, terwijl het omgekeerd is: beweging en tijd vallen in een op zich oneindig aantal momenten nader onder te verdelen. Maar opnieuw is het probleem duidelijk: de beschrijving deugt niet en doet de fysieke werkelijkheid en in concreto het kinetisch aspect geen recht.

Er kan trouwens ook nog iets anders met de beschrijving aan de hand zijn. Die kan op zich ook betekenisloos of onzinnig zijn. Het lemma over de leugenaarsparadox in de Stanford Encyclopedia of Philosophy begint bijvoorbeeld met de zin: ‘The first sentence in this essay is a lie.’ Het zal een ieder direct opvallen dat die zin volstrekt onzinnig is. Er staat helemaal niets wat waar of onwaar kan zijn. Dat de auteur vervolgens nog iets bazelt over dat als de zin waar is, ze een leugen is en dus niet waar, en dat als ze niet waar is, ze dus een leugen is en dus waar, moeten we maar beschouwen als een poging de absurditeit nog wat op te voeren. Het gaat hier simpelweg niet om een propositie die waar of onwaar kan zijn. Propositionaliteit is slechts een van de opties van taal en doet zich lang niet altijd voor. Het is een verschijnsel waar Ludwig Wittgenstein zijn hele leven mee geworsteld heeft en maar niet erg aan kon wennen. Taal is primair een communicatiemiddel – of we weten niet wat voorop gaat, dat kan ook – en beschrijving is slechts een van de functies – en dat weten we dan overigens wel weer met grote zekerheid.

Er is natuurlijk een andere variant van de leugenaarsparadox die wel aan de voorwaarden voor propositionaliteit voldoet. Het de bekende aan Epimenides toegeschreven paradox – vast en zeker ten onrechte – waar ook de apostel Paulus in de brief aan Titus aan refereert: ‘Een van hen, hun eigen profeet, heeft gezegd: Kretenzen zijn altijd leugenaars, kwade beesten, luie buiken.’ De logische paradox is dat een Kretenzer zegt dat Kretenzers altijd, in elke zin, liegen. Hier gaat het net als in de paradox van de barbier om een fysiek voorstelbare situatie. En dus om een beschrijvingsfout. Maar hier is de tegenspraak veel leuker. Stel al dat het waar is dat Kretenzers in elke zin, althans elke zin die het predicaat waar of onwaar toegewezen kan krijgen, liegen, wat overigens praktisch betekent dat je altijd de waarheid uit hun woorden kunt afleiden, mits helder is wat het tegendeel is, dan is de uitspraak op zich waar, maar onvolledig. Zakelijk gesproken had de Kretenzer erbij moeten vertellen dat hij nu voor één keer een uitzondering maakte. Maar het grappige is dat hij met zijn uitspraak aangeeft dat hij ook niet beoogt de waarheid te spreken. Dat maakt deze paradox veel geestiger dan die de eerder genoemde.

Russell en Frege
De paradox van de barbier, waar ik mee begon, werd door Bertrand Russell opgeschreven, maar was hem kennelijk door iemand anders aan de hand gedaan als een variant op de paradox waar hij bekend mee is geworden en die dan ook Russell’s paradox genaamd pleegt te worden. Het is het idee van ‘de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten’. De achtergrond vormt de verzamelingenleer die Georg Cantor vanaf 1874 ontwikkelde. Als deze verzameling een element van zichzelf is, valt ze niet onder de definitie die zegt dat een verzameling zichzelf niet mag bevatten. Maar als ze geen lid is van zichzelf, gaat ze ook in tegen de definitie, die zegt dat de verzameling bestaat uit alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten. Kortom deze door Bertrand Russell bedachte verzameling bevat zichzelf wel en ook weer niet.

Dat is, opnieuw, geen paradox meer, dat is een tegenspraak. Ook hier gaat het om een niet deugdelijke omschrijving. Maar misschien kan men in dit geval beter zeggen dat het gaat om een foutief voorschrift. In de verzamelingenleer gaat het immers niet alleen om de beschrijving van een reëel bestaande wereld of althans een werkelijk voorstelbare wereld – dat eiland met die barbier – maar ook om constructies. Telkens weer kun je nieuwe verzamelingen verzinnen. Niet dat je er iets aan hebt, maar je kunt bijvoorbeeld best de verzameling definiëren die alles bevat dat geen motorfiets is en geen groente.

Wat Russell in feite ontdekte, was een voorschrift dat niet uitvoerbaar is. Een verzameling die aan de omschrijving voldoet, valt immers niet eenduidig samen te stellen. Gottlob Frege wist hij in 1902 met zijn formulering over de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten, dan ook aardig de stuipen op het lijf te jagen. Die was namelijk bezig hier de logische grondslag van zijn wiskundig systeem van te maken en aan het tweede deel van zijn Grundgesetze der Arithmetikdat in 1903 verscheen, voegde hij dan ook een nawoord toe waarin hij de paradox van Russell behandelde.

Mij lijkt dat de fout simpelweg lag in de definitie van een verzameling die toeliet dat men een verzameling – set in het Engels bij Russell, Klasse bij Frege in het Duits – zichzelf liet bevatten. Ik zou zeggen dat men zo een dubbele beschrijving gebruikte. De verhouding tussen een verzameling en een element is hiërarchisch, ook als de verzameling slechts uit één element bestaat. Ook dan is de omschrijving van de verzameling algemener, zodat dat element er onder past, maar als zodanig wordt dat op een meer specifieke wijze omschreven. Wie nu toestaat dat een verzameling zichzelf bevat, voegt er een tweede omschrijving aan toe: identiteit. Dat is geen relatie meer, zoals in betrekking tot de (andere) elementen die tot een verzameling behoren. Het verzamelingenbegrip dat Frege gebruikte, bestond uit twee verschillende omschrijvingen en daar kwam de fout uit voort. Russell zelf zocht de oplossing wel in deze richting, maar dan veel ingewikkelder, met een heel hiërarchisch systeem.

Voorschrift
De wiskundige L.E.J. Brouwer ging er vanuit dat je het bestaan van een wiskundig object niet kunt aannemen als je niet kunt aangeven hoe je het tot stand kunt brengen. Dat is waar het om gaat. Het gaat hier om een voorschrift dat onjuist geformuleerd is, omdat de begrippen niet helder gedefinieerd zijn. In die zin gaat het ook om een slechte beschrijving. Een architectonische tekening kan men als een voorschrift beschouwen, maar ook als een beschrijving van een komende, tot stand te brengen situatie. Nogal wat prenten van M.C. Esscher voldoen dan niet, omdat het perspectief niet eenduidig is. Zo is het ook met Russells paradox. Die is op zich niet interessant, maar had wel een nuttige functie: ze bracht aan het licht dat men onder een verzameling twee verschillende dingen kon verstaan: een hiërarchische relatie én identiteit.

En dat van die identiteit hoeft ons niet te verbazen, want in veel logische paradoxen gaat het om zelfreferentialiteit. Zodra een handeling die aan een subject toegeschreven wordt, daar zelf betrekking op heeft, blijkt de beschrijving zó vaak niet te kloppen en onvolledig te zijn. Hoe het ook zij, altijd gaat het om slechte beschrijvingen. Taal misleidt. Logica is gebaseerd op onze realiteit en abstraheert daarvan. Logica spoort juist tegenspraken op. Maar de taal, ook symbolische taal, kan zichzelf tegenspreken. Logische paradoxen laten zien dat er ergens een fout gemaakt is.

Logische paradoxaliteit is een paradoxaal begrip.

(99)