De paradox als slechte beschrijving

door Jan Dirk Snel

Een paradox is een tegenspraak die we wel te pruimen achten. Een contradictie is een tegenspraak die we niet acceptabel vinden. Grieks versus Latijn. Een paradox is een schijnbare tegenspraak, schijnen velen op school te leren. Beter kun je waarschijnlijk zeggen dat het om een opzettelijke tegenspraak gaat. Wie gebruik maakt van de paradox als stijlfiguur, benut een werkelijke tegenspraak om iets duidelijker te maken, dat zich rechttoe rechtaan misschien niet zo goed laat zeggen.

Barbier
Met de paradox als stijlfiguur zijn we vertrouwd. Maar kan de paradox ook een logische figuur zijn? In wijsgerige encyclopedieën als bijvoorbeeld de Stanford Encyclopedia of Philosophy kom je nogal wat stukken over paradoxen tegen. Wikipedia, de laatste jaren enorm in aanzien gestegen, heeft trouwens ook aardig wat te bieden. Maar is een logische paradox in feite niet iets heel vreemds? Bestaat die eigenlijk wel? Of is wat we een logische paradox noemen, in feite gewoon een contradictie? En is het beginsel van de non-contradictie niet zo ongeveer de basis van de logica?

Exif_JPEG_PICTURE

De vieringtoren van de Sint-Jan in Den Bosch steekt boven de huizen uit. Een logisch verband met dit stukje is er niet. Fysieke paradoxaliteit is overigens uitgesloten.

Men kent het verhaaltje. Het gaat over een eilandje waar een niet al te grote bevolking woont. Er is één barbier, die alle mannen scheert die niet zichzelf scheren, en alleen hen. Wie scheert nu de barbier? Als hij zichzelf scheert, scheert hij dus niet alleen mannen die zichzelf niet scheren. Als hij zichzelf niet scheert, scheert hij dus niet alle mannen die zichzelf niet scheren. Pogingen tot ontsnapping, dat hij elke dag met een bootje van elders komt aangevaren, dat hij een baard laat staan of dat de barbier wel eens een vrouw zou kunnen zijn, helpen allemaal niet. Het hoeft trouwens helemaal niet om een eilandje of voor mijn part een geïsoleerd dorpje te gaan. Voor elke barbier die midden in een grote metropool roept dat hij iedereen die zichzelf niet scheert, en alleen hen scheert, geldt hetzelfde verhaal.

Maar het is natuurlijk wel duidelijk wat hier mis is. De beschrijving klopt gewoon niet. Die bevat een tegenspraak en komt er in feite op neer dat de barbier zich tegelijk wel en niet scheert. En contradicties mogen niet. Het gaat om beschrijvingsfout en de werkelijke situatie zou je in heel gewone bewoordingen kunnen omschrijven, zij het wat minder kort en krachtig geformuleerd. Bijvoorbeeld dat de barbier alle mannen die zichzelf niet scheren, én zichzelf scheert. Of dat hij alle mannen die zichzelf niet scheren, scheert en zelf een baard laat staan. Of wat dan ook. De situatie kan veel complexer zijn met mannen die soms zichzelf scheren en soms naar de barbier gaan. Het doet er allemaal niet toe. Hier gelden de regels van de gewone, fysieke wereld en die valt altijd te beschrijven, zij het dat er de ene keer meer woorden en zinnen nodig zijn dan in een ander geval.

Zeno en de leugenaar
Scholieren kennen vaak de paradoxen van Zeno. Die over Achilles en de schildpad bijvoorbeeld. Ook al loopt Achilles veel sneller dan de schildpad, als hij die bij de start maar een klein stukje voorsprong geeft, zal hij die nooit inhalen, omdat elke keer als hij aankomt waar de schildpad was, die toch een heel klein stukje verder is gekomen. Of die over de pijl en de dichtomie, die trouwens in elkaar geschoven worden. Of je het nu over een renner of een pijl hebt, je kunt de resterende afstand steeds in tweeën opdelen. De renner of de pijl legt steeds de volgende helft van afstand tot het doel af, maar komt nooit definitief aan. De opmerkingen over de pijl, overgeleverd via Aristoteles en Diogenes Laërtius, geven als zodanig al aan waar het probleem zit: Zeno vertikt het verschijnsel van de beweging te honoreren. Hij stelt zich de pijl (of de renner) voor als telkens in rust zijnde. Hij doet alsof beweging uit een reeks momenten is samengesteld, terwijl het omgekeerd is: beweging en tijd vallen in een op zich oneindig aantal momenten nader onder te verdelen. Maar opnieuw is het probleem duidelijk: de beschrijving deugt niet en doet de fysieke werkelijkheid en in concreto het kinetisch aspect geen recht.

Er kan trouwens ook nog iets anders met de beschrijving aan de hand zijn. Die kan op zich ook betekenisloos of onzinnig zijn. Het lemma over de leugenaarsparadox in de Stanford Encyclopedia of Philosophy begint bijvoorbeeld met de zin: ‘The first sentence in this essay is a lie.’ Het zal een ieder direct opvallen dat die zin volstrekt onzinnig is. Er staat helemaal niets wat waar of onwaar kan zijn. Dat de auteur vervolgens nog iets bazelt over dat als de zin waar is, ze een leugen is en dus niet waar, en dat als ze niet waar is, ze dus een leugen is en dus waar, moeten we maar beschouwen als een poging de absurditeit nog wat op te voeren. Het gaat hier simpelweg niet om een propositie die waar of onwaar kan zijn. Propositionaliteit is slechts een van de opties van taal en doet zich lang niet altijd voor. Het is een verschijnsel waar Ludwig Wittgenstein zijn hele leven mee geworsteld heeft en maar niet erg aan kon wennen. Taal is primair een communicatiemiddel – of we weten niet wat voorop gaat, dat kan ook – en beschrijving is slechts een van de functies – en dat weten we dan overigens wel weer met grote zekerheid.

Er is natuurlijk een andere variant van de leugenaarsparadox die wel aan de voorwaarden voor propositionaliteit voldoet. Het de bekende aan Epimenides toegeschreven paradox – vast en zeker ten onrechte – waar ook de apostel Paulus in de brief aan Titus aan refereert: ‘Een van hen, hun eigen profeet, heeft gezegd: Kretenzen zijn altijd leugenaars, kwade beesten, luie buiken.’ De logische paradox is dat een Kretenzer zegt dat Kretenzers altijd, in elke zin, liegen. Hier gaat het net als in de paradox van de barbier om een fysiek voorstelbare situatie. En dus om een beschrijvingsfout. Maar hier is de tegenspraak veel leuker. Stel al dat het waar is dat Kretenzers in elke zin, althans elke zin die het predicaat waar of onwaar toegewezen kan krijgen, liegen, wat overigens praktisch betekent dat je altijd de waarheid uit hun woorden kunt afleiden, mits helder is wat het tegendeel is, dan is de uitspraak op zich waar, maar onvolledig. Zakelijk gesproken had de Kretenzer erbij moeten vertellen dat hij nu voor één keer een uitzondering maakte. Maar het grappige is dat hij met zijn uitspraak aangeeft dat hij ook niet beoogt de waarheid te spreken. Dat maakt deze paradox veel geestiger dan die de eerder genoemde.

Russell en Frege
De paradox van de barbier, waar ik mee begon, werd door Bertrand Russell opgeschreven, maar was hem kennelijk door iemand anders aan de hand gedaan als een variant op de paradox waar hij bekend mee is geworden en die dan ook Russell’s paradox genaamd pleegt te worden. Het is het idee van ‘de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten’. De achtergrond vormt de verzamelingenleer die Georg Cantor vanaf 1874 ontwikkelde. Als deze verzameling een element van zichzelf is, valt ze niet onder de definitie die zegt dat een verzameling zichzelf niet mag bevatten. Maar als ze geen lid is van zichzelf, gaat ze ook in tegen de definitie, die zegt dat de verzameling bestaat uit alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten. Kortom deze door Bertrand Russell bedachte verzameling bevat zichzelf wel en ook weer niet.

Dat is, opnieuw, geen paradox meer, dat is een tegenspraak. Ook hier gaat het om een niet deugdelijke omschrijving. Maar misschien kan men in dit geval beter zeggen dat het gaat om een foutief voorschrift. In de verzamelingenleer gaat het immers niet alleen om de beschrijving van een reëel bestaande wereld of althans een werkelijk voorstelbare wereld – dat eiland met die barbier – maar ook om constructies. Telkens weer kun je nieuwe verzamelingen verzinnen. Niet dat je er iets aan hebt, maar je kunt bijvoorbeeld best de verzameling definiëren die alles bevat dat geen motorfiets is en geen groente.

Wat Russell in feite ontdekte, was een voorschrift dat niet uitvoerbaar is. Een verzameling die aan de omschrijving voldoet, valt immers niet eenduidig samen te stellen. Gottlob Frege wist hij in 1902 met zijn formulering over de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten, dan ook aardig de stuipen op het lijf te jagen. Die was namelijk bezig hier de logische grondslag van zijn wiskundig systeem van te maken en aan het tweede deel van zijn Grundgesetze der Arithmetikdat in 1903 verscheen, voegde hij dan ook een nawoord toe waarin hij de paradox van Russell behandelde.

Mij lijkt dat de fout simpelweg lag in de definitie van een verzameling die toeliet dat men een verzameling – set in het Engels bij Russell, Klasse bij Frege in het Duits – zichzelf liet bevatten. Ik zou zeggen dat men zo een dubbele beschrijving gebruikte. De verhouding tussen een verzameling en een element is hiërarchisch, ook als de verzameling slechts uit één element bestaat. Ook dan is de omschrijving van de verzameling algemener, zodat dat element er onder past, maar als zodanig wordt dat op een meer specifieke wijze omschreven. Wie nu toestaat dat een verzameling zichzelf bevat, voegt er een tweede omschrijving aan toe: identiteit. Dat is geen relatie meer, zoals in betrekking tot de (andere) elementen die tot een verzameling behoren. Het verzamelingenbegrip dat Frege gebruikte, bestond uit twee verschillende omschrijvingen en daar kwam de fout uit voort. Russell zelf zocht de oplossing wel in deze richting, maar dan veel ingewikkelder, met een heel hiërarchisch systeem.

Voorschrift
De wiskundige L.E.J. Brouwer ging er vanuit dat je het bestaan van een wiskundig object niet kunt aannemen als je niet kunt aangeven hoe je het tot stand kunt brengen. Dat is waar het om gaat. Het gaat hier om een voorschrift dat onjuist geformuleerd is, omdat de begrippen niet helder gedefinieerd zijn. In die zin gaat het ook om een slechte beschrijving. Een architectonische tekening kan men als een voorschrift beschouwen, maar ook als een beschrijving van een komende, tot stand te brengen situatie. Nogal wat prenten van M.C. Esscher voldoen dan niet, omdat het perspectief niet eenduidig is. Zo is het ook met Russells paradox. Die is op zich niet interessant, maar had wel een nuttige functie: ze bracht aan het licht dat men onder een verzameling twee verschillende dingen kon verstaan: een hiërarchische relatie én identiteit.

En dat van die identiteit hoeft ons niet te verbazen, want in veel logische paradoxen gaat het om zelfreferentialiteit. Zodra een handeling die aan een subject toegeschreven wordt, daar zelf betrekking op heeft, blijkt de beschrijving zó vaak niet te kloppen en onvolledig te zijn. Hoe het ook zij, altijd gaat het om slechte beschrijvingen. Taal misleidt. Logica is gebaseerd op onze realiteit en abstraheert daarvan. Logica spoort juist tegenspraken op. Maar de taal, ook symbolische taal, kan zichzelf tegenspreken. Logische paradoxen laten zien dat er ergens een fout gemaakt is.

Logische paradoxaliteit is een paradoxaal begrip.

(99)

4 reacties to “De paradox als slechte beschrijving”

  1. Leuk onderwerp. Maar wat denk je van de absolute paradox van Kierkegaard?

    • Wel interessant, maar het lijkt me wel een geheel ander type vraag. Je zou de vraag van Kierkegaard in verband kunnen brengen met die van Lessing. Bij Lessing gaat het dan om eenmaligheid en historiciteit in verband met herhaling of universaliteit. Bij Kierkegaard gaat het om de verhouding van het absolute en de tijd. Denk ik zo ongeveer.

  2. Het viel me op dat je je beperkt tot de logische (getructe) paradox waardoor Kierkegaard niet in je verhaal past. Persoonlijk vind ik die paradox van Kierkegaard veel paradoxiger dan die jij beschrijft. Het is dan ook de paradox naar het absurde. Je zou naar mijn gevoel een mooi ‘deel 2’ kunnen schrijven bij je verhaal. Zie: http://goo.gl/Kujcl

    • Wie weet komt het daar nog een keer van, maar het ging me nu om een heel ander onderwerp. Dit keer wilde ik het hebben over de logische paradox. Ook al omdat sommigen die veel te serieus nemen. Je kunt je er enorm door laten meeslepen, maar als je doorhebt dat het om een foutieve beschrijving gaat, kun je je vaak ook heel wat tijd besparen.

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s

%d bloggers op de volgende wijze: